摺紙與數學相結合的開始大約可追溯到公元8世紀中期，處於文化鼎盛時期的阿拉伯人獨立發展了折紙藝術，他們將歐洲幾何學原理運用到摺紙中，並且利用摺紙來研究幾何學。從19世紀開始，摺紙在西方成為了數學和科學研究的工具，解決在摺紙過程中發現的一些數學之迷已經發展成為現代幾何學的一個分支。摺紙作為一種人們熟悉的娛樂活動，已被一些教師運用到了數學教學的過程中。 上學期，我也在學校嘗試開了一門拓展性課程——摺紙數理學，初步體驗了摺紙在數學教學中的一些應用。一學期來我在教學過程中遇到過問題，對摺紙教學的現狀有思考，對摺紙教學的未來也有憧憬。
一．紙應用於數學教學的現狀
目前我國的一些中學教師和高校教授陸續發表過文章，對摺紙在數學教學中的應用作了探討和研究。上海師範大學數理信息學院的陸新生老師於曾對01級數學與應用數學師範班的學生開設的數學教育科研方法一課中介紹了摺紙與中學數學相關的一系列課題。同時，他也在上海師範大學附屬中學裏開設摺紙數理學，以原版日本摺紙書為教材，積極推廣摺紙在數學教學中的應用。 雖然，摺紙或是作為一種專門的選修課，或是作為教學（大多是幾何教學）的輔助工具有着除娛樂之外的教育功能，但它的某些教學應用價值和使用手段尚未被廣大師生所認知、認可。同時，其自身還面臨着來自各方面的挑戰和阻力，所有的應用和教學活動也都只是在摸索和嘗試的過程中。摺紙應用於數學教學按其應用形式，一般有：課堂上的專題討論、課堂上應用摺紙作為輔助教學工具演示幾何形態、提供課後學生思考的操作題[1]、出現在試題中的探索、開放題。
1.摺紙活動中豐富的數學探索
上海市青浦教育進修學院的宋偉倩、孫志遠老師和華東師範大學數學系的黃榮金老師以“如何在實驗操作中讓學生體驗數學發現的過程，感悟數學思想方法和本質”[2]作為研究的主題在課堂上討論了“用紙片折幾何圖形”的課題。問題是讓學生思考能否將一張長方形紙片折出等腰三角形，用直角三角形以及任意三角形紙片折成一個長方形（要求重疊部分只能有兩層紙）。學生們通過摺紙活動和小組交流發現了很多不同的折法，然後各自分別在實物投影上演示摺紙過程，並説明理由。江蘇省武進高級中學的劉紹周老師曾嘗試以作業的形式要求學生在課後完成幾何體的製作，然後在上課時展示其製作的過程[3]。材料是一張16K紙，要求是將它摺疊或剪下後拼成三稜錐，並且不能廢料。後來分別有五位同學展示了他們不同的巧妙做法。 我國山西省中考題中的一道探究型考題就以一張矩形的紙進行摺疊，給出操作過程，在第（1）題中讓學生確認並證明其中的數學現象，並且在第（2）題中提出對任意矩形這種折法是否具有普遍性的問題請學生探索[4]。這些鮮活的案例都取得了良好的教學效果，在課堂中、課堂外都提高了學生學習數學的熱情。又由於摺紙的內容在考題中的出現，使一些學生對摺紙教學重視了起來。
2.摺紙在數學教學中的困境
儘管摺紙活動進入課堂對活躍課堂氣氛、調動學生學習數學的積極性等方面起到了明顯作用。然而摺紙的數學教學功能依然沒有被廣大師生所認知，摺紙在數學教學中的應用依然不普及。歸納起來，大致有：
1.教學課時緊，而摺紙與教材內容相關不大，比較費時間；
2.師資缺乏，廣大師生沒有這方面的認知，無人認可，不被推廣；
3.不利於低年級學生集中思想，高年級同學又覺得對問題研究太複雜；時代性不強，展示能力不如計算機好。
二．摺紙的教學優勢
摺紙不僅可以作為幾何教學的輔助工具，即幫助學生形象地認識到一些較為抽象的空間圖形，而且還是一種學習數學、探究數學、創新數學知識點的載體。摺紙過程中所體現出來的許多幾何的概念，諸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等幾何形狀；對角線、中點、垂直平分線等幾何名稱；全等、勾股定理等幾何法則；內接、面積及其他一些幾何代數的概念，就給學生提供了彌補思維過程中斷缺的部分，符合學生認知的習慣。我們現行的教學方式難以給學生創造出動手實驗、直覺判斷、合情推理這樣的認知過程，也不能給學生根據自己的能力得到不同層次結論的機會。而相比之下，摺紙的應用能有助於激勵每一個學生參與到力所能及的探索中，它能提供學生仔細觀察，廣泛聯想，多方向、多角度、多層次去思考的機會，因此它是發展學生高層次思維品質的有效材料。在摺紙過程中去體驗數學研究中的一些方法，其研究趣味濃、探索性強，學生能通過觀察、嘗試、猜測、轉移、類推、特殊化等途徑去認識到其中的數學原理，同時也培養了學生樹立一種形成正確的答案或解題方案可能不止一個的數學觀。 其次，摺紙符合新課標倡導“自由、合作、探究”的學習方式，使學生獲得生動活潑的、主動而富有個性的發展；新課程四大學習領域之一“空間與圖形”主要表現的內容是：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉化；能根據條件做出立體模型或畫出圖形。其中再次提出學生動手操作在數學幾何教學中的重要作用。新課程標準還提出，數學課程的基本出發點是促進學生全面、持續和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律。強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成為數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力，情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。摺紙活動讓學生動手實踐就是遵循了這一基本出發點，使他們在獲得知識的同時，在思維開發、動手能力方面都有更大的進步。 另外，用摺紙的方法來探索數學結論這種教學方法具有普適性。摺紙就其本身而言，取材方便，只需要我們日常生活中最常見的紙，不受時間，場合的限制。而且，它的操作過程簡明易懂，一般的同學都能接受，不論是學習能力好的或是欠缺的同學都能參與進行。它是一種大眾的教學而非英才教育，這與當前倡導的“人人學習有用的數學；人人學習想學的數學”是一致的。所以，摺紙在數學教學中具有——改善課堂氣氛；培養學生的學習熱情和探索能力；能有效闡述數學原理；解決論證難以解決的問題等優勢。
三．摺紙在數學教學中應用的建議
1. 摺紙自身教學資源的進一步提升
i.對紙張的進一步開發
在摺紙的教學過程中，摺痕線是非常重要的教學痕跡，為了更好地呈現摺紙中的數學原理，建議可以用有網格的摺紙，這樣摺痕線的位置就方便考察，有些操作也就能更方便，更精確一些。比如，在討論“決定一次折返片形狀的頂點分佈圖”[5]的操作時，為了觀察點的位置分佈，找出規律，學生將紙張進行反覆摺疊形成網格來探究，這樣要花去不少課堂內的時間，同時也增加了紙張的褶皺。如果換成帶有網格的紙張，就可以減少畫網格的時間，也使摺疊出來的摺痕效果更清晰，便於觀察。所以如能研製出專門的數學教學專用摺紙紙張，能有網格來表示座標#p##e#，有不同的顏色來表示摺疊後的區域等特殊性質，那麼不僅是解決了上述調研中引發的問題，也是促使摺紙教學進一步專門化的一種方法。
ii.多媒體輔助教學
現在許多數學內容已製作成多媒體課件，為的是使學生能更好地理解。一些複雜、難以精確畫出的幾何圖形已無須教師費時在黑板上畫出。所以在摺紙課上，我們可以保留讓學生摺紙操作，但是在教師示範展示時可以結合同步計算機幾何畫板或Flash動畫的演示，這樣既能使每一步操作留下先後順序的痕跡，又能使坐在不同位置的學生都觀察到放大了的清晰畫面，起到了單一教學法所不能起到的效果。
iii.建立科學完備的教學體系
日本和我國同屬東亞文化系統，他們的數學教材頗具東亞文化傳統，十分重視課題學習，力求實現使學生參與操作、觀察、實驗等活動的目標。在新初中數學教學大綱的教學內容中，如讓學生測量A4、B4紙的長和寬，再將其對摺得到A5、B5紙，依次類推，從得到的數據中發現長寬之比為定值、各圖形間的相似關係等性質[6]。新高等學校數學課程的教材數學基礎中的一章“數學和人類的活動”中，用“芳賀第一定理”來展現平面圖形的教學內容。這樣就很自然、流暢地將摺紙引入數學教材中，進入數學課堂。所以，在摺紙教材選擇的問題上，我們也可以借鑑日本的經驗，當然還要符合我國學生的實際情況，細分各年級的適應程度，對內容做相應的增減和調整。充分考慮不同年級學生的數學課內容和課時進度，以不同難易程度的摺紙教學與之相適應，在適當的章節中推薦教師使用，同時配以練習，留給學生在課外思考。這樣就能解決摺紙內容與教材無關這一矛盾了。
另外，在開設選修課之前，可以先舉辦一個講座或是進行適當的宣傳，目的是讓學生們瞭解摺紙課真正的內容。因為，大多數學生在接觸摺紙課之前並不瞭解這門課程的真正內容，而選修課本來就應該是學生憑自己的喜好和需要來選擇，如果學生並不真正瞭解該課程而在將來選修的過程中十分勉強甚至後悔，則就違背了學校開設選修課的初衷了。
iv.教學力量的加強
針對師資的缺乏，教學力量薄弱這一問題，就應該從教師自身素質的提升做起。當然這要靠專家對新手的宣傳和培訓。最好我們能先確立前面提到的專門教學材料和課程設置，提倡一部分人先用起來，各個學校進行交流，以點帶面。國外有摺紙協會，我們也可以成立自己專門的摺紙協會，從事收集案例，交流經驗，翻譯國際上優秀教材從而轉換為適合中國國情的教材，開展教師的培訓等工作，以次來普及、提高我國的摺紙教學，獲得社會更多的認可。
2.外界教學氛圍的支持
目前教學的氣氛和觀念是在以往應試教育這種時代下所形成的，這種急功近利的教學氣氛使得教師不捨得佔用較長教學時間去研究與考試不太相關的、教材上不曾出現過的、從前的教學經驗中不曾涉及到的新內容。學生當然也不願意把本來就很寶貴的時間用到這一類新事物中去，雖有興趣，但也只能望之興歎。甚至有些學生認為學習摺紙中的數學，僅在摺紙的具體操作時是有趣的，在發現其中的數學現象時是興奮的，但在確認數學原理時的計算或是證明是複雜的、枯燥無味的，因此而遠離了摺紙教學。當然，我們不否認數學的計算或證明是以簡潔為最佳，也是教師在教學過程中提倡學生去追求的，但並不是所有的數學結論和方法都應該是輕鬆簡單的，這不是我們在數學探索的道路上應有的科學觀和應具備的品質。
所幸的是，隨着時代的進步，我國教育部十分關注學生的成長、成材，並寄予了極大的期望。“二期課改”的新精神給我們的教育注入了新的活力。目前很多有條件的學校已經開始在學校裏開設多種選修課，給學生提供第二課堂，在抓升學率的同時，更保證了學生的學能與學習興趣的培養。只有在這種教學環境下，摺紙教學才能有的放矢地開展。但是改革是需要時間的，新事物也只有在實踐過程中，體現出其優勢時，才會被大家所接受。我們希望廣大師生能大膽嘗試，給予這類新的好的教學法以支持和響應，使它們在教學中發揮出應有的價值。
四．結束語
本文僅在學習了部分相關書籍，根據筆者的一些親身體驗及心得寫成，希望不僅能給目前的教改提供一種可參考的新式教學法，也能給類似摺紙這樣能激發學生的探索能力、培養動手能力；形成生活化、趣味化、形象化的數學觀；提高數學教學的其他方法，應如何應用於課堂教學、優化數學教學提供了一個實例以作借鑑。 對於摺紙教學應用建議的可行性，以及怎樣將建議較好地實施是有待於進一步探討和研究的課題。筆者希望有志於數學教學工作、熱忠於摺紙教學的老師和同學們共同來關心、探索、發展我國的摺紙教學事業。
參考文獻
[1]張思明，白永瀟編著：數學課題學習的實踐與探索，高等教育出版社，2003年8月第1版。
[2]宋偉倩，黃榮金：在摺紙活動中“想”數學和“説”數學，數學教學，2004年第5期，封二4
[3]劉少周：小紙片簡單幾何製作的研究性學習，數學教學，2004年第11期，1415
[4]何昌俊，初永梅：探究型中考題説，數學教學，2004年第1期，33
[5]芳賀和夫著：摺紙數理學的課堂教學（日文），明治圖書，1996
[6]陸書環，傅海倫編著：數學教學論，科學出版社，2004年3月第一版，245249
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