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死理性派不可思議的硬幣遊戲

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出門在外,恰逢不巧,你和朋友被困住了,乾點什麼呢。來幾局三國殺?是個不錯的提議,但問題是你帶牌了嗎,沒牌怎麼打?死理性派想説的是,會玩的孩子怎麼不能玩!湊幾個硬幣,隨隨便便就能玩一整天。不得不説,硬幣是世界上最好的遊戲機,哦,前提是你得懂點數學。

死理性派表示,硬幣是世界上最好的遊戲機,給我們幾枚硬幣,就能玩到天亮。不不不,硬幣可不止拋正反面這麼簡單。好玩的硬幣遊戲,你們都會玩嗎?

死理性派不可思議的硬幣遊戲

尼姆遊戲

在所有二人遊戲中,最古老最有魅力的就是這個尼姆遊戲了(好吧,在所有二人數學遊戲中)。據説它發源於中國,有時候孩子們用紙片玩,但通常人們出門可能很少帶紙片,所以我們用硬幣玩。

這個遊戲最流行的版本是用 12 枚硬幣擺成三行。

死理性派不可思議的硬幣遊戲 第2張

遊戲規則很簡單,遊戲雙方輪流取 1 枚或多枚硬幣(只能在同一行),誰拿到最後一枚就算贏。留心的朋友玩幾把就可以琢磨出,只要在自己的某一個回合裏留下兩行多於 1 枚且數量相同的硬幣,就能確保獲勝。一個優勢策略是,先手的人一開始就拿掉最上面一行 2 枚硬幣,這樣的話,離勝利就不遠了。

有趣的是,有人發現,當擴展到任意多行,每行有任意枚硬幣時,利用二進制,可以把這個遊戲玩得風生水起。哈佛大學的數學教授布頓在 1901 年首次發表了論文詳述了這個問題,也正是他,正式將這個遊戲命名為尼姆遊戲。

把玩家每一步操作之後的遊戲局面叫做“棋局”。在布頓的論文中,如果玩家每一步操作後的棋局能保證自己獲勝,那就是“安全的”,否則就是“不安全的”。每個不安全棋局都可以一步正確的操作變成安全的,而如果沒有正確地操作,一個安全的棋局就會變成不安全的。

如何判定一個棋局是安全的還是不安全的呢?這就用到了前面提到的二進制。將每一行的硬幣數都用二進制表示,按矩陣元素的排列方式對齊,這時候如果每 一列的數( 0 或 1 )相加都為偶數(包括 0 ),那麼這個棋局就是安全的,只要有一列元素相加不為偶數,那這個棋局就是不安全的。

回到我們上面説的那個流行版本上,可以看到在初始狀態,它的二進制表示如下圖

死理性派不可思議的硬幣遊戲 第3張

可以看到,第 2 列之和為奇數,所以這個本版的初始狀態是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬幣,第 1 行就變成了 1 ,從而留下了一個安全棋局。通過用其他方法試驗,可以看到,拿掉第 1 行的 2 枚硬幣是留下安全棋局的唯一操作。

把棋局轉化成上面這個二進制表格,根據表格決定怎麼操作就不會出錯了。但是在玩的時候,恐怕對手沒那麼寬容,讓你不斷畫表格,在腦子中計算,一不小心就出錯。那麼記住下面這條就很有用了:在兩行裏留下同樣多的硬幣,總能贏。在此之後,讓每行硬幣數量保持相等就可以了。

尼姆遊戲深受數學家喜愛並被廣泛研究,它因此產生了很多變體。1910 年美國數學家穆爾就提出了一個,它規則與尼姆遊戲相同,只不過玩家可以從不超過指定數 k 的任意多行裏拿掉硬幣。有趣的是,它同樣可以通過二進制來分析,只要把安全棋局定義為:二進制表裏的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。


後選擇一定贏的硬幣遊戲

死理性派不可思議的硬幣遊戲 第4張

對於粗心大意和無知的人來説,這個遊戲就是一個十足的陷阱。讓我們來看看這個它是怎麼玩的。

拋三次硬幣看最後哪一面朝上,結果無非只有這 8 種:

正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反

這個遊戲的規則是,對手有優先選擇權。首先對手在這 8 種組合總選一種作為他的組合,然後你選一組作為自己的組合。雙方選定後,隨便選一個人來連續拋硬幣,直到他的或你的組合出現為止,誰的組合先出現誰就算贏。

這個遊戲看上去沒有什麼問題,不管哪種組合,它們出現的概率都是一樣的。但如果誰真這麼想,那他可就輸定了。事實上,先選的人一定會被針對。無論對手選擇選擇哪個組合,後選的人都可以選一個組合來針對他,是自己的獲勝概率至少提高到 2/3 !

如果你不相信的話,就讓我們選一個簡單的例子來分析看看。假設對手選擇的是“正正正”的組合,這時候我們只要選擇“反正正”,勝率就可以瞬間到達 7/8。這是為什麼呢?

如果前三次就拋出了“正正正”的結果,那對手就獲勝了,這種情況發生的概率為 1/8 。但除此之外,只要最開始的三次對手沒有獲勝,那麼我可以説,他已經沒有獲勝的機會了。因為前三次沒有獲勝,就説明在他獲勝之前一定出現了反面,那第一次 出現“正正正”的情況必然包含在如下的結果中:

……反正正正……

可以看到,當出現“反正正”的時候,他已經沒有辦法再玩下去了,因為那正是我們選擇的組合,到這裏我們已經獲勝了。對於其他組合,這裏不再專門討論了,下面附出一張表格,給出了後選擇的人採用正確策略的獲勝概率,可以看到,後選擇的人獲勝的最低概率也是 2/3 。

死理性派不可思議的硬幣遊戲 第5張

你是否覺得這個結果有些出乎意料?需要説明的是,在涉及到概率時,我們的直覺很多時候都是錯誤的。


硬幣正反不一樣?怎麼辦?

死理性派不可思議的硬幣遊戲 第6張

通常我們所説的硬幣,都是理想硬幣。但由於設計的原因,硬幣正反面的花紋並不一樣,這就導致了它的實際重心不在正中心上。由於重心有偏向,所以擲硬 幣時,正反面出現的概率也會有所偏差,想要知道這個偏差具體有多大,難度頗大。幸好花紋導致的概率偏差非常非常小,可以忽略不計。

儘管如此,但萬一就遇到了一個死較真的和你玩拋硬幣,我們能不能找到一個方法,讓真實的硬幣達到理想硬幣的效果呢?

答案是能。我們可以用下面這種玩法“化腐朽為神奇”:連續擲兩次硬幣,如果兩次結果是相同的(都是正面朝上或都是反面朝上),那就重新再連續擲兩次 硬幣,直到結果不同為止(一次反面朝上,一次正面朝上)。這時, [正,反] 的結果就可以對應擲理想硬幣結果為正的情形, [反,正] 的結果就可以對應理想硬幣為反的情形(反過來也可以)。

這是為什麼呢?假設硬幣擲出正面的概率是 p ,那擲出 [正,反] 的概率為 p( 1 p ) ; [反,正] 的概率為 (1 p)p。二者相等,所以採取這種方法,即便是一枚非理想硬幣,遊戲結果也會變成完全公平的。